09h00-10h00 : accueil des participants - viennoiseries, boissons
10h00-10h50 : Marie-Claude CANON-VIALLON - Schémas numériques pour l'équation de la chaleur posée dans un domaine géométriquement multi-échelle
10h50-11h40 : Olivier ZAHM - Certified dimension reduction of the input parameter space of multivariate functions
11h40-12h30 : Rachid TOUZANI - Une dérivation des équations des circuits à partir des équations de courants de Foucault en électromagnétisme
12h30-14h00 : déjeuner
14h00-14h50 : Rebecca TYSON - Les cycles prédateur-proie : rôles des predateurs et des saisons
14h50-15h40 : Hélène LEMAN - Modèles mathématiques pour l'évolution des préférences sexuelles
15h40-16h10 : pause boissons
16h10-17h00 : Luca RIZZI - Weyl’s law for singular Riemannian manifolds
19h30 : dîner au restaurant l'Épicurien, à Grenoble.
Vendredi 9 novembre :
09h00-9h50 : Yves COLIN DE VERDIÈRE - Attracteurs pour les ondes internes
09h50-10h20 : pause boissons, viennoiseries
10h20-11h10 : Nicolas CELLIER - Modélisation de films ruisselants chauffés
11h10-12h00 : Adam LARAT - A minimal cure to the ill-conditionning of the Stieltjes’ problem at moment space boundaries
12h00-13h30 : déjeuner
13h30-14h20 : Rénald CHALAYER - Un schéma numérique pour les écoulements viscoplastiques à densité variable
14h20-15h10 : Charles-Édouard BRÉHIER - Résultats de régularité pour des équations de Kolmogorov en dimension infinie
15h10-16h00 : Julien VOVELLE - Limites hydrodynamiques stochastiques
Fin : boissons
TITRES ET RÉSUMÉS
Charles-Édouard BRÉHIER Résultats de régularité pour des équations de Kolmogorov en dimension infinie
On considère la fonction $u(t,x)=\E[\phi(X(t,x))]$, définie pour $t\ge 0$, $x\in H$, où $X(t,x)$ est la solution d'une équation
d'évolution stochastique (EDPS parabolique semilinéaire) $dX(t)=AX(t)dt+F(X(t))dt+\sigma(X(t))dW(t)$, $X(0)=x$, à valeurs dans un espace de Hilbert $H$.
Formellement, on a l'équation de Kolmogorov $\partial_tu=Lu$, avec condition initiale $u(0,\cdot)=\phi$, avec $L$ le générateur infinitésimal associé.
L'objectif de cet exposé est de mettre en évidence les propriétés nécessaires sur les dérivées spatiales de $u$ pour que l'expression $Lu$ ait un sens, et pour analyser l'erreur de schémas de discrétisation de X. De plus, on montrera, dans certains cas, de nouvelles méthodes pour prouver ce type de résultats.
Marie-Claude CANON-VIALLON Schémas numériques pour l'équation de la chaleur posée dans un domaine géométriquement multi-échelle
Nous étudions des méthodes de décomposition de domaine avec une discrétisation de type volumes finis pour résoudre l'équation de la chaleur dans une structure géométriquement multi-échelle. La structure est constituée d'un noeud bi-dimensionnel d'où partent plusieurs branches uni-dimensionnelles. Plusieurs types de raccordements continus ou non sont envisagés aux interfaces entre les sous-modèles. Pour chacun d'entre eux, des schémas sont construits sous la forme de systèmes d'interface et comparés avec des méthodes classiques réécrites dans le contexte multi-échelle.
Nicolas CELLIER Modélisation de films ruisselants chauffés
On considère le transfert de chaleur au travers d’un film liquide de faible épaisseur s’écoulant par gravité le long d’un plan incliné, l’objectif étant de comprendre les mécanismes d’intensification des transferts par l’hydrodynamique du film et d’optimiser la géométrie d’un échangeur.
Un modèle simplifié fondé sur une méthode intégrale aux résidus pondérés appliquée aux équationsde Navier-Stokes et de Fourier a été développé. Un outil de résolution de système d’équations aux dérivées partielles utilisant la méthode des lignes a été écrit. Celui-ci utilise les différences finies pour discrétiser les dérivées spatiales et un schéma Runge Kutta implicite d’ordre élevé couplé à un contrôleur de pas de temps afin de garantir une résolution stable et performante des modèles.
Ce modèle simplifié nous a permis de mettre en avant les liens entre l’hydrodynamique (et en particulier la recirculation ayant lieu au sein de la crête des ondes propagatives) et l’intensification des phénomènes de transferts, lien confirmé par résolution des équations primitives du problème. En effet, une étude paramétrique de l’intensification des transferts sur un élément représentatif d’une plaque d’échangeur par une excitation monochromatique en entrée d’écoulement a été menée. Elle montre le lien entre la présence de recirculation au sein des ondes propagatives et accroissement des
transferts.
Le modèle a été étendu afin de prendre en compte un fond à géométrie variable. Des travaux préliminaires sur l’effet d’un fond ondulé sur les transferts indiquent qu’une faible inclinaison soit nécessaire pour qu’un effet notable soit observé.
Rénald CHALAYER Un schéma numérique pour les écoulements viscoplastiques à densité variable
Nous définissons et étudions un nouveau schéma numérique de semi-discrétisation en temps pour des écoulements incompressibles viscoplastiques avec une rhéologie de Bingham et à densité variable.
Dans un tel modèle, le tenseur des contraintes plastiques n'est pas différentiable dans les zones rigides. Nous proposerons une formulation sous forme de projection du tenseur des contraintes plastiques, que nous couplerons à une méthode de type pas fractionnaires initialement introduite pour les écoulements Newtoniens. L'utilisation d'une vitesse à divergence nulle pour convecter la densité dans l'équation de conservation de la masse nous permet d'obtenir des bornes inférieures et supérieures positives sur la densité, qui seront essentielles pour l'analyse du schéma, dont la stabilité et la convergence seront présentées.
Yves COLIN DE VERDIERE Attracteurs pour les ondes internes
Dans un travail avec Laure Saint-Raymond, nous étudions les attracteurs pour les ondes internes forcées. Ces travaux sont motivés par les expériences de plusieurs groupes de physiciens dont celui de Thierry Dauxois à l'ENSL. L'ingrédient principal est l'étude de la théorie spectrale d'opérateurs pseuso-différentiels de degré 0 (donc bornés) sur une variété compacte. Pour cela, nous utilisons la théorie de Mourre et la construction de fonctions de fuite.
Adam LARAT A minimal cure to the ill-conditionning of the Stieltjes’ problem at moment space boundaries
This talk is dedicated to the dynamics of a disperse phase. A first part of the presentation is concerned with some modeling aspects. The disperse phase is represented by a Number Density Function (NDF), which evolves under a Population Balance Equation (PBE) of the Boltzmann’s type [1]. Given the large size of the phase-space generally involved by the PBE, only a finite number of moments of the NDF are considered. Since the amount of resolved information has been reduced, a closure is needed to make the new reduced-order model self-consistent. We will particularly focus on the Entropy Maximization (EM) process: given a finite set of moments, compute the unique NDF which maximizes the Shannon entropy, [2]. This precise NDF is then used to compute the possibly missing moments. Hence, the EM problem is well-posed when the set of moments is realizable: there exists a positive NDF whose moments are equal to this set. When the phase-space is R+, such a problem is called the Stieltjes’ problem.
A second part of the presentation is then concerned with the numerical assessment of this realizability condition, and in particular, with the complicated problem of the numerical instability of the realizability-check at moment-space boundaries. To this purpose, we quickly review some important results of the theory of moments, [3]. These give the correct metric to be used at the moment-space boundary in order to stabilize the realizability-check algorithm. Finally the whole procedure is assessed with dedicated numerical tests, using a realizability preserving Runge-Kutta Discontinuous Galerkin scheme [4]. High-order up to order three can be reached, even in complex situations such as the free transport of Dirac distributions, which means moving numerically along the moment-space boundary.
[1] F.A. Williams. “Spray combustion and atomization”. In: Physics of Fluids 1 (1958), pp. 541–545.
[2] Mohamed Essadki et al. “High order moment model for polydisperse evaporating sprays towards interfacial geometry”. In: SIAM Journal on Applied Mathematics 78.4 (2018). HAL:hal-01355608, pp. 2003–2027.
[3] H. Dette and W. J. Studden. The theory of canonical moments with applications in statistics, probability, and analysis. New York: John Wiley & Sons Inc., 1997.
[4] M. Sabat et al. “On the development of high order realizable schemes for the Eulerian simulation of disperse phase flows on unstructured grids: a convex-state preserving Discontinuous Galerkin method”. In: JCMF 6.3 (2014), pp. 247–270.
Hélène LEMAN Modèles mathématiques pour l'évolution des préférences sexuelles
La préférence d'accouplement, c'est-à-dire le choix de partenaire pour la reproduction, est maintenant reconnue comme pouvant être à l'origine d'un isolement reproductif, dans le sens où elle peut provoquer l'arrêt du flux de gènes entre deux sous-populations, chacune des sous-populations préférant se reproduire avec ses pairs. On peut alors se demander quelles forces permettent l'émergence de telles préférences sexuelles. Dans cet exposé, on présentera un modèle stochastique permettant de répondre à cette problématique. En étudiant à la fois le modèle déterministe correspondant au comportement en grande population et le modèle stochastique microscopique, on cherchera à donner des conditions qui permettent l'émergence d'individus possédant une préférence au sein d'une population sans préférence.
Rebecca TYSON Les cycles prédateur-proie : rôles des predateurs et des saisons
Grâce a la modélisation, on peut voir que l'interaction entre un prédateur et sa proie donne deux populations oscillatoires. Ce résultat vient d'études mathématiques utilisant des modèles avec un prédateur et une proie, dans lesquels la relation entre le prédateur et sa proie ("functional relationship") est la même toute l'année. Dans cet exposé, je vais présenter deux modifications de cette approche classique: (1) l'addition de plusieurs prédateurs qui sont tous largement dépendants de la même proie, et (2) un changement, lié aux saisons, dans la relation entre le prédateur et la proie. Le premier scénario est pertinent au nord du Canada, surtout en hiver, quand il reste peu a manger à part le lièvre d'Amerique, ou dans une écologie future qui arrive au fur et à mesure que les extinctions de l'anthropocène continuent. Le deuxième scénario est pertinent pour certains prédateurs qui ont un choix de proies pendant l'été, mais seulement une proie substantielle pendant l'hiver quand les autres proies sont en hibernation ou peuvent rester cachées sous la neige. En étudiant ces deux scénarios, nous allons pouvoir identi er l'importance des di fférents types de prédateurs en fonction du nombre de lièvres, et l'eff et de la prolongation de la saison d'été par rapport à la durée de la saison d'hiver. C'est un travail en collaboration avec Frithjof Lutscher, Sheena Haines et Karen E. Hodges.
Luca RIZZI Weyl’s law for singular Riemannian manifolds
We study the asymptotic growth of the eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator on singular Riemannian manifolds, where all geometrical invariants appearing in classical spectral asymptotics are unbounded, and the total volume can be infinite. Under suitable assumptions, we prove that the leading term of the Weyl asymptotics contains information on the singularity, i.e. its Minkowski dimension and its regularized measure. We apply our results to a particular class of almost-Riemannian structures. A key tool in the proof is a universal estimate for the remainder of the heat trace on Riemannian manifolds, which is of independent interest.
Rachid TOUZANI Une dérivation des équations des circuits à partir des équations de courants de Foucault en électromagnétisme
La modélisation mathématique de procédés électromagnétiques utilisant les courants de Foucault fait intervenir
généralement un assemblage de conducteurs ``massifs'' et des bobines de conducteurs fins. Nous présentons
dans ce travail un procédé de passage à la limite permettant d'obtenir une équation des circuits de Kirchhoff à partir d'une
formulation variationnelle des courants de Foucault en champ magnétique. Ce procédé a pour but final d'obtenir
un couplage d'équations de champs et de circuits.
Julien VOVELLE Limites hydrodynamiques stochastiques
On décrit divers résultats de limites hydrodynamiques pour des équations cinétiques comportant des perturbations ou des termes de forçage stochastiques. Dans les régimes où on se place, le bruit subsiste à la limite, et les équations macroscopiques sont des EDP stochastiques. On expliquera en particulier les problèmes de convergergence dus aux termes aléatoires. Travaux en collaboration avec Arnaud Debussche et autres.
Olivier ZAHM Certified dimension reduction of the input parameter space of multivariate functions
Approximation of multivariate functions is a difficult task when the number of input parameters is large. Identifying the directions where the function does not significantly vary is a key preprocessing step to reduce the complexity of the problem we have at hand. We propose a gradient based method that permits to detect such a low-dimensional structure of a function. Our methodology consists in minimizing an upper-bound of the approximation error obtained using Poincaré-type inequalities, and it generalizes the Active Subspace method. Numerical examples reveals the importance of the choice of the metric to measure errors and compare it with the commonly used truncated Karhunen-Loeve decomposition.
We also show that the same methodology can be applied for the reduction of the dimension of Bayesian inverse problems. By seeking an approximation of the likelihood function by a ridge function, the resulting method exploits the fact that the data are not informative over the whole parameter space but only on a low-dimensional subspace.
